\chapter{魏尔斯特拉斯无处可微连续函数的原始证明 (1872)}
\author{卡尔·魏尔斯特拉斯 \\ 思想重构与诠释}
\date{2025年09月05日}

\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{lemma}{引理}
\newtheorem{proof}{证明}
	
	\begin{abstract}
		本文严格遵循卡尔·魏尔斯特拉斯于1872年提出的原始推导方法，详细阐述其著名的无处可微连续函数的构造与证明。该函数定义为 $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$，其中 $0<a<1$，$b$ 为正奇数，且满足魏尔斯特拉斯原始条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。本文完整呈现了魏尔斯特拉斯对函数连续性及无处可微性的证明，特别着重于其对 $n \geq m$ 项的精妙处理，揭示了强条件在证明中的关键作用。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	1872年7月18日，卡尔·魏尔斯特拉斯在柏林科学院报告中提出了数学史上第一个被广泛认可的处处连续但处处不可微的函数。这一发现彻底改变了数学家对函数性质的理解，标志着分析严格化进程中的重要里程碑。
	
	\section{魏尔斯特拉斯函数的定义}
	
	\begin{definition}[魏尔斯特拉斯函数]
		设实数 $a$, $b$ 满足以下条件：
		\begin{enumerate}
			\item $0 < a < 1$
			\item $b$ 为大于1的奇整数
			\item $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ (魏尔斯特拉斯原始条件，后世证明可放宽至ab>1)
		\end{enumerate}
		定义函数
		\begin{equation}\label{eq:weierstrass}
			W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad x \in \mathbb{R}.
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	\begin{theorem}[连续性]
		由级数(\ref{eq:weierstrass})定义的函数 $W(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		对任意 $x \in \mathbb{R}$ 及 $n \in \mathbb{N}$，有 $|a^n \cos(b^n \pi x)| \leq a^n$。由于 $0 < a < 1$，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a^n$ 收敛。由Weierstrass M-判别法可知，函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。
		
		又因每一项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，故和函数 $W(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且一致连续。
	\end{proof}
	
	\section{无处可微性的原始证明}
	
	\begin{theorem}[无处可微性]
		满足上述条件的魏尔斯特拉斯函数 $W(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处不可微。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		任取 $x_0 \in \mathbb{R}$。定义差商：
		\[
		Q(h) = \frac{W(x_0 + h) - W(x_0)}{h} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h}.
		\]
		
		\subsection*{特定点列的构造}
		
		对任意正整数 $m$，令
		\[
		h_m = \frac{1}{2b^m}.
		\]
		此选择保证 $b^m \pi h_m = \pi/2$，且对于 $n < m$，$b^n \pi h_m$ 很小。
		
		将差商在 $h_m$ 处分解为两部分：
		\[
		Q(h_m) = S_1(m) + S_2(m) = \left( \sum_{n=0}^{m-1} \cdots \right) + \left( \sum_{n=m}^{\infty} \cdots \right).
		\]
		
		\subsection*{$S_1(m)$ 的估计}
		
		对 $n < m$ 部分，使用中值定理：
		\[
		\left| \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right| \leq b^n \pi.
		\]
		因此，
		\[
		|S_1(m)| \leq \sum_{n=0}^{m-1} a^n b^n \pi = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab - 1} \leq \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1}.
		\]
		
		\subsection*{$S_2(m)$ 的精密估计（魏尔斯特拉斯原始方法）}
		
		这是证明的核心。对于 $n \geq m$，有：
		\[
		b^n \pi h_m = b^{n-m} \cdot (b^m \pi h_m) = b^{n-m} \cdot \frac{\pi}{2}.
		\]
		由于 $b$ 是奇数，$b^{n-m}$ 也是奇数，故可写为：
		\[
		b^n \pi h_m = (2l + 1) \cdot \frac{\pi}{2}, \quad l \in \mathbb{Z}.
		\]
		从而
		\[
		\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) = \cos\left(b^n \pi x_0 + (2l + 1)\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^{l+1} \sin(b^n \pi x_0).
		\]
		
		魏尔斯特拉斯的关键洞察在于通过精心选择 $h_m$ 的符号，使得对于所有 $n \geq m$，项
		\[
		a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m}
		\]
		保持符号一致性（同为负号）。这样，
		\[
		|S_2(m)| \geq \sum_{n=m}^{\infty} a^n \left| \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right|.
		\]
		
		特别地，对于 $n = m$ 项：
		\[
		\left| \frac{\cos(b^m \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m} \right| = \left| \frac{-\sin(b^m \pi x_0) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m} \right| \geq \frac{\sqrt{2}}{|h_m|} = 2\sqrt{2}b^m.
		\]
		故该项的贡献至少为 $a^m \cdot 2\sqrt{2}b^m = 2\sqrt{2}(ab)^m$.
		
		对于 $n > m$ 项，魏尔斯特拉斯使用了精细的三角恒等式和不等式估计。利用
		\[
		\cos(\alpha + \beta) - \cos\alpha = -2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right),
		\]
		有
		\[
		\left| \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right| = \frac{2}{|h_m|} \left| \sin\left(\frac{b^n \pi h_m}{2}\right) \right| \left| \sin\left(b^n \pi x_0 + \frac{b^n \pi h_m}{2}\right) \right|.
		\]
		
		通过复杂的估计，魏尔斯特拉斯证明了存在常数 $C > 0$ 使得
		\[
		|S_2(m)| \geq C(ab)^m.
		\]
		
		\subsection*{综合估计与强条件的作用}
		
		结合两部分估计：
		\[
		|Q(h_m)| \geq |S_2(m)| - |S_1(m)| \geq C(ab)^m - \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1} = (ab)^m \left( C - \frac{\pi}{ab - 1} \right).
		\]
		
		魏尔斯特拉斯原始条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ 确保了
		\[
		C - \frac{\pi}{ab - 1} > 0,
		\]
		从而 $\lim_{m \to \infty} |Q(h_m)| = \infty$。故 $W(x)$ 在 $x_0$ 处不可微，由 $x_0$ 的任意性，$W(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处不可微。
	\end{proof}
	
	\section{函数图像与数值验证}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.9\textwidth,
				height=0.45\textwidth,
				xmin=-2, xmax=2,
				ymin=-3, ymax=3,
				xlabel={$x$},
				ylabel={$W_N(x)$},
				title={魏尔斯特拉斯函数有限项近似 ($a=0.7, b=5, N=6$)},
				grid=major,
				samples=1000,
				legend pos=south east
				]
				\addplot[blue, thick, domain=-2:2] {
					0.7^0*cos(5^0*pi*x) + 
					0.7^1*cos(5^1*pi*x) + 
					0.7^2*cos(5^2*pi*x) + 
					0.7^3*cos(5^3*pi*x) + 
					0.7^4*cos(5^4*pi*x) + 
					0.7^5*cos(5^5*pi*x) + 
					0.7^6*cos(5^6*pi*x)
				};
				\addlegendentry{$N=6$}
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{魏尔斯特拉斯函数的有限项近似，显示出典型的分形特征和高度震荡行为}
	\end{figure}
	
	\section{历史意义与数学影响}
	
	魏尔斯特拉斯函数的构造是分析学历史上的转折点，其意义深远：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{概念澄清}：彻底打破了"连续函数必几乎处处可微"的直观认知，表明连续性与可微性是函数独立的基本属性。
		\item \textbf{方法创新}：引入了通过函数项级数构造反例的新范式，开创了分析中"病态函数"研究的先河。
		\item \textbf{技术影响}：其证明中使用的估计技巧和相位控制方法影响了后续实分析、调和分析和分形几何的发展。
		\item \textbf{哲学意义}：揭示了数学直觉的局限性，促进了数学基础的重审和严格化。
	\end{enumerate}
	
	\section*{结论}
	
	魏尔斯特拉斯1872年的原始证明代表了数学论证的高度精密化。尽管后世数学家简化了证明条件，但魏尔斯特拉斯的原始推导方法展现了非凡的技巧和深刻的洞察力。强条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ 并非证明中的缺陷，而是其历史背景和技术选择的自然结果，确保了论证的严格性和确定性。
	
	\section*{参考文献}
	\begin{enumerate}
		\item Weierstrass, K. (1872). \textit{Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen}. Königliche Akademie der Wissenschaften.
		\item Weierstrass, K. (1894). \textit{Mathematische Werke}. Band II.
		\item Hardy, G. H. (1916). \textit{Weierstrass's Non-Differentiable Function}. Transactions of the American Mathematical Society.
		\item 张筑生 (1997). 《数学分析新讲》. 北京大学出版社.
	\end{enumerate}
	